Seminar Stochastische Geometrie
Seminarleiter
Prof. Dr. Volker Schmidt
Prof. Dr. Evgeny Spodarev
Jun.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko
Gast-Prof. Dr. Tim Brereton
Seminarbetreuer
Dipl.-Math. David Neuhäuser
Zeit und Ort
Montag 14-16 Uhr, HeHo 18 in E20
Umfang
2 Semesterwochenstunden
Voraussetzungen
Vorlesungen des Grundstudiums, insbesondere Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Zielgruppe
Studenten der Mathematik, Wirtschaftsmathematik und Mathematischen Biometrie
Wir bieten in diesem Seminar Themen mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad an. Es gibt sowohl für Bachelor-Studenten als auch für Master- und Diplom-Studenten geeignete Vorträge.
Inhalt
Eine häufige, aber sehr einschränkende Annahme an Zufallsvariablen ist ihre Unabhängigkeit untereinander. Infolgedessen lässt sich die gemeinsame, multivariate Verteilungsfunktion zwar als Produkt der einzelnen, univariaten Verteilungsfunktionen schreiben. Gerade in vielen Bereichen der realen Welt bzw. in Modellen der stochastischen Geometrie ist diese Annahme aber oftmals nicht gerechtfertig. Was passiert also nun, wenn die Unabhängigkeitsannahme weggelassen wird? Einen Ausweg in diesem Zusammenhang bilden sogenannte Copulas. Mit ihrer Hilfe kann man die Abhängigkeit von Zufallsvariablen deutlich flexibler als mit Korrelationskoeffizienten modellieren. Grob gesagt versteht man unter einer Copula eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen mindestens zweier Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Verteilung beschreiben kann. Copulas werden in der Mathematik einerseits verwendet, um Rückschlüsse auf die stochastische Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen ziehen zu können und andererseits um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Ihre Anwendungen sind zahlreich und in Bereichen wie der Kreditrisikoanalyse, der Versicherungsmathematik oder sogar bei der Modellierung von Telekommunikationsnetzwerken bzw. der 3D-Mikrostruktur von Materialien für Batterien und Brennstoffzellen, vorfindbar.
Kriterien zur Erlangung des Seminarscheins:
Der Seminarschein wird für einen inhaltlich korrekten, gut strukturierten und verständlich präsentierten Vortrag sowie regelmäßige Anwesenheit vergeben.
Vortragsthemen
- 21.10. Brigitte Peter: Definition und grundlegende Eigenschaften von Copulas (Betreuer: Gerd Gaiselmann)
- 28.10. Andreas Guck: Theorem von Sklar (Betreuer: Ole Stenzel)
- 04.11. Lars Lämmlein: Methoden zur Konstruktion von Copulas und einige Beispiele (Betreuer: Stefan Roth)
- 11.11. Simone König: Archimedische Copulas (Betreuer: Aaron Spettl)
- 25.11. Karolin Struck: Abhängigkeitsmaße I (Betreuer: Björn Kriesche) sowie Noelia Medrano: Abhängigkeitsmaße II (Betreuer: Lisa Handl)
- 02.12. Benedikt Krob: Copulas, die Markov-Prozesse beschreiben (Betreuer: Christian Hirsch)
- 09.12. Christopher Heinz: Hierarchische Archimedische Copulas (Betreuer: Tim Brereton)
- 13.01. Eugen Rot u. Lukas Petrich: Anwendung in Telekommunikationsnetzwerken I (Teil a und Teil b) (Betreuer: David Neuhäuser)
- 20.01. Christof Schroth: Anwendung in Telekommunikationsnetzwerken II (Betreuer: David Neuhäuser)
- 27.01. Hung Do Tien: Modellierung multivariater Verteilungen von Partikelkenngrößen mittels Copulas (Betreuer: Aaron Spettl)
- 03.02. Tobias Baumann: Parameterschätzung von Copulas (Betreuer: Judith Olszewski)
Literatur
- R. B. Nelsen. An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 2006.
- J.-F. Mai and M. Scherer. Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications. Imperial College Press, 2012.
- C. Savu and M. Trede. Hierarchical Archimedean copulas. Institute of Econometrics, University of Münster.
- L. Rüschendorf. Mathematical Risk Analysis: Dependence, Risk Bounds, Optimal Allocations and Portfolios. Springer-Verlag, 2013.
- A. McNeil, R. Frey and P. Embrechts. Quantitative Risk Management. Princeton Series in Finance, 2005.
- D. Neuhäuser, C. Hirsch, C. Gloaguen and V. Schmidt. A parametric copula approach for modelling shortest-path trees in telecommunication networks. Lecture Notes in Computer Science. Springer, 2013.
- D. Neuhäuser, C. Hirsch, C. Gloaguen and V. Schmidt. Joint distributions for total lengths of shortest-path trees in telecommunication networks. Preprint (submitted).
Kontakt
Volker Schmidt
- volker.schmidt(at)uni-ulm.de
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Aktuelles
- Der letzte Vortrag vor Weihnachten findet am 09.12. statt. Der Termin vom 16.12. wurde dafür auf den 03.02. verschoben.